こんばんは、スタッフのUです。
関西では先週の土曜日から中学受験が本格的にスタートしました(例年、共通テスト(元・センター試験)と同じ日に始まります)。
私は毎年灘中学の算数の1日目の問題だけは解いているのですが(灘中学の入試は2日間日程)、今日はそのうちの1問の解説をしてみたいと思います。
灘中学算数(1日目)4番
2025は9の倍数でも25の倍数でもあり、4つの位の数のうち1つだけが0です。4桁の整数のうち、9の倍数でも25の倍数でもあり、4つの位の数の1つだけが0であるものは2025を含めて全部で⬜︎個あります。
例年、灘中学の算数の1日目の1番の計算問題では、その年の西暦の年号を含む計算が出題されますが(今年は2.025という数字が含まれていました)、今年はこの4番でも「2025」という数字に関わる問題が出題されています。
過去にもこのブログで何度か倍数判定法に触れてきましたが、9の倍数は「各位の和が9の倍数」であり、25の倍数は「下2桁が00か25か50か75」です。まずどちらに注目する方が先の見通しが立ちやすいかですが、4桁のうち2桁を決定できる25の倍数判定法から注目する方が圧倒的に効率的でしょう。
25の倍数は「下2桁が00か25か50か75」ですが、「00」は0が2つなので「4つの位の数の1つだけが0」という問題の条件に合いません。つまり下2桁は25か50か75のいずれかです。
これで、求める4桁の数は⬜︎⬜︎25，⬜︎⬜︎50，⬜︎⬜︎75のいずれかの形と絞り込むことができます。
i ) 4桁の整数がAB25と表される場合(Aは1以上9以下の整数，Bは0以上9以下の整数)
問題の条件に「4つの位の数の1つだけが0」とありますので、0になるのは百の位のBしか考えられません。つまり、この4桁の数はA025という形になることがわかります。
ここで9の倍数判定法を考え合わせると、A+0+2+5が9の倍数となりますが、18以上の9の倍数になることはあり得ませんので、A+0+2+5=9で、A=2、つまり求める4桁の整数は2025の1個のみとわかります。
ii ) 4桁の整数がAB50と表される場合(Aは1以上9以下の整数，Bは0以上9以下の整数)
問題の条件に「4つの位の数の1つだけが0」とあり、すでに0は一の位で使われていますので、A，Bはともに0でないことがわかります。
ここで9の倍数判定法を考え合わせると、A+B+5+0が9の倍数となりますが、27以上の9の倍数になることはあり得ませんので、A+B+5+0は9か18のいずれかです。
a ) A+B+5+0=9、つまりA+B=4の場合(A，Bはともに1以上9以下の整数)
A，Bの組み合わせは、(A, B)=(1, 3), (2, 2), (3, 1)の3通り、
つまり求める4桁の整数は、1350，2250，3150の3個です。
b ) A+B+5+0=18、つまりA+B=13の場合(A，Bはともに1以上9以下の整数)
A，Bの組み合わせは、(A, B)=(4, 9), (5, 8), (6, 7), (7, 6), (8, 5), (9, 4)の6通り
つまり求める4桁の整数は、4950，5850，6750，7650，8550，9450の6個です。
iii ) 4桁の整数がAB75と表される場合(Aは1以上9以下の整数，Bは0以上9以下の整数)
問題の条件に「4つの位の数の1つだけが0」とありますので、i )と同様、0になるのは百の位のBしか考えられません。つまり、この4桁の数はA075という形になることがわかります。
ここで9の倍数判定法を考え合わせると、A+0+7+5が9の倍数となりますが、A+0+7+5=18となる場合、つまりA=6の場合しかあり得ません。つまり求める4桁の整数は6075の1個のみとわかります。
以上、i ) 〜iii )より求める整数は1+3+6+1=11(個)とわかります。いかがでしたでしょうか。
問題を考えるにも優先順位の付け方によって手間は大きく変わってきますね。私どもも今年も仕事の優先順位づけをしっかり行い、持てるリソースを出来うる限り効率的に医療に提供できるよう取り組んでまいりたいと思います。