こんばんは、スタッフのUです。
朝の冷え込みがぐっと厳しくなってまいりました。皆さん、風邪など引かれないようくれぐれもご自愛ください。
さて、前回のブログ（「2024」）で「倍数判定法」について軽く触れました。ある整数に対して実際に割り算をしてみなくても、その数が2や11などの整数で割り切れるかどうか（2や11の倍数かどうか）がわかる方法がある、というものでした。
たとえば、
元の数の「下1桁が0か2の倍数」（つまり一の位が0，2，4，6，8のいずれか）であれば、元の数は必ず2の倍数ですし、
「一の位から数えて奇数番目の位（一の位、百の位、一万の位、百万の位…）の和と、偶数番目の位（十の位、千の位、十万の位、千万の位…）の和を求め、その差が0か11の倍数」であれば、元の数は必ず11の倍数です。
さて、なぜこういうことが言えるのか。今回はその種明かしです。「5324」という整数を例にとって考えてみましょう。
まずはなつかしの「位取り」の話から。
5324という数は千の位が5、百の位が3、十の位が2、一の位が4、つまり1000が5個と100が3個と10が2個と1が1個でできた数なので、5324は「1000×5＋100×3＋10×2＋1×4」と表すことができます。さらに言えば、5324は10が532個と1が4個でできた数なので、「10×532＋1×4」と表すこともできます。ここで、10は2の倍数（2×5）なので、先ほどの式は「2×5×532＋1×4」と書き直すことができますね。この「2×5×532」の部分は2の倍数なので、残りの「1×4」の部分、つまり1の位の数字が2の倍数（あるいは0）でさえあれば、元の数の5324が2の倍数であると言えるわけです。これは九九の2の段に出てくる積の1の位を見ても感覚的に掴みやすいところだと思います。
さて、では11の倍数判定法はどうでしょう。こちらも先ほどの位取りを使って考えてみます。
1000は実は11の倍数の1001より1小さい数で（1000＝1001－1＝11×91ー1）
100は11の倍数の99より1大きい数で(100＝99＋1＝11×9＋1)
10は11の倍数の11より1小さい数（10＝11－1）なので、
5324は次のように書き表すことができます。
5324＝1000×5＋100×3＋10×2＋1×4＝(11×91－1)×5＋(11×9＋1)×3＋(11－1)×2＋1×4
これを分配法則を使ってかっこを展開して整理すると、
5324＝11×91×5－1×5＋11×9×3＋1×3＋11×2－1×2＋1×4
＝11×(91×5＋9×3＋2)－1×5＋1×3－1×2＋1×4
＝11×(91×5＋9×3＋2)＋｛(3＋4)－(5＋2)｝
となります。上の式の下線を引いた部分は11の倍数なので、｛(3＋4)－(5＋2)｝の部分、つまり、「一の位から数えて奇数番目の位の和（3＋4）と、偶数番目の位の和（5＋2）を求め、その差が0か11の倍数」であれば、元の数が11の倍数であると言えます。
だいぶ長くなってしまいましたが、ご理解いただけましたでしょうか？
書くと結構な長さになってしまいますが、話しながらなら実は簡単に説明できます。
皆さんにお仕事のご依頼をいただいた際にも、簡潔かつ明瞭な話を心がけております。